摘要
基于声子晶体的能带结构理论,结合弹性波动方程与Bloch定理建立结构单胞的动力学方程,研究负泊松比星型周期格栅结构的面内纵向振动与面外弯曲振动的带隙特性,发现其存在丰富的禁带特性,且在较低频率范围内存在稳定的宽大带隙。对比了2种振动模式的能带结构,研究了内凹夹角、长细比等几何参数对结构等效弹性参数与带隙特性的影响,并分析了带隙频率处单胞的振动模态。研究结果表明:星型格栅中存在2种振动都被抑制的完全带隙;内凹夹角和斜梁的几何参数是影响低阶带隙的关键;旋转共振模态的出现导致最低带隙处简并态的打开。星型周期格栅结构的这些带隙特性使其在工程减振降噪中具有潜在的价值。
弹性波在周期介质中传播时会存在弹性波带隙,这类存在弹性波带隙的周期性介质被称为声子晶
一般格栅结构难以产生带隙,但在结构中引入手性共振单元可以获得具有较宽带隙的双负材料参数的超材
笔者对负泊松比星型格栅结构振动传播时的频率带隙问题进行了研究,同时分析了其面内振动与面外振动2种模式下的带隙特性。根据Bloch定理,利用COMSOL有限元软件,首先,分析其面内纵向振动与面外弯曲振动的能带结构及振动传输特性,发现其在较低频率范围内有着稳定的宽大带隙;其次,2种振动模式的联合分析发现其存在纵向振动波与弯曲振动波都难以传播的完全带隙;最后,探讨此星型结构单胞的等效弹性模量与等效泊松比随结构几何参数的变化趋势,同时研究纵向振动与弯曲振动各带隙边界随几何参数变化的规律。研究结果为星型格栅结构在工程中的实际应用提供指导。

图1 2维星型周期格栅结构及其单胞示意图
Fig.1 Two-dimensional star-shaped periodic grid structure and its unit cell
简约Brillouin区 | 基矢与不可约Brillouin区顶点 |
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对于各向同性的线弹性固体,不计体力的情况下,其Navier's方程为
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其中:λ,µ为Lame常数,,,为弹性模量,为泊松比;为材料密度;为Hamilton微分算符;为位移场矢量。
本构方程为
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其中:,分别为应力和应变张量;为单位张量;为弹性张量。
结合Floquet⁃Bloch定理,在晶格周期性介质中传播的弹性波是按晶格周期调幅的平面波,即Bloch波。对于星型周期格栅结构,其位移场可以表示为
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其中:为圆频率;为位置坐标;为限制在第一Brillouin区内的波矢。
由Bloch定理,2维无限周期结构中任一单胞内的任一点位移都可以用参考单胞内对应点的位移表示,即
(4) |
其中:rp,g分别为此单胞相对参考单胞在格矢空间与倒格矢空间的位置。
研究无限周期结构各个自由度的振动,只需研究某个参考单胞内的位移即可,同时对于星型单胞,其上下、左右边界处还存在周期性边界条件,即
(5) |
其中:为晶格常数的矢量。
是与有关的周期函数,其周期与晶格参数的周期相同。将
(6) |
其中:,分别为单胞整体的刚度矩阵和质量矩阵。
,与波矢k相关,因此给定单胞第一Brillouin区内的波矢k,就可以求得不同波矢对应的特征频率,得到表述结构色散关系的能带结构图。笔者将基于有限元分析软件COMSOL中的结构力学物理场下的板模块,实现对结构特征频率与能带结构的计算。

图2 2维星型格栅结构的纵向振动能带结构与传输特性曲线
Fig.2 Band structure and transmission characteristics curve of two-dimensional star-shaped grid structure's longitudinal vibration
由
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其中:X,X0分别为响应和激励通过Fourier变换得到的与频率有关的物理量,其可以是位移、速度或加速度。

图3 2维星型格栅结构有限元模型
Fig.3 Finite element model of two-dimensional star-shaped grid structure
由
在板模块中建立薄板模型,星型结构几何参数与1.2节相同,研究格栅薄板的面外弯曲振动特性。在COMSOL有限元软件中建立的结构模型,其能带结构中同时包含了板内的纵向振动与弯曲振动,根据面内纵向振动能带结构的分析结合格栅薄板的模态分析,可以分离出格栅薄板的弯曲振动能带结构,再结合格栅薄板的弯曲振动传输特性曲线,从而能够准确直观地实现对星型格栅结构的弯曲振动带隙分析。

图4 2维星型格栅结构的弯曲振动能带结构与传输特性曲线
Fig.4 Band structure and transmission characteristics curve of two-dimensional star-shaped grid structure's banding vibration
在对格栅薄板的弯曲波能带结构分析时发现,格栅薄板中存在纵向波与弯曲波都无法传播的弹性波禁带。

图5 2维星型格栅结构的纵向及弯曲振动能带结构
Fig.5 Band structure of two-dimensional star-shaped grid structure's longitudinal vibration and banding vibration

图6 4 kHz激励下星型格栅结构的位移响应
Fig.6 Displacement response of star-shaped grid structure under 4 kHz excitation
星型格栅结构作为一种负泊松比结构,存在弹性波带隙,其带隙范围将随着结构的几何与材料参数变化而发生变化。本节研究结构几何参数对带隙的影响规律以期为在工程应用中的结构设计提供参考。几何参数包括内凹夹角、斜直梁长比及长细比,其中,为无量纲参数。
已有学者研究了负泊松比材料弹性模量与泊松比的数值变
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(9) |
由于星型结构的对称性,有,。

图7 等效弹性模量和等效泊松比随几何参数变化曲线
Fig.7 Equivalent elastic modulus and equivalent Poisson's ratio curves vary with geometric parameters
星型格栅结构纵向振动带隙随几何参数的变化如

图8 星型格栅结构纵向振动带隙随几何参数变化
Fig.8 Band gaps of star-shaped grid structure's longitudinal vibration vary with geometric parameters

图9 不同角度时能带结构对比图(L1=L2=2 cm,t1=t2=0.2 cm)
Fig.9 Band gaps comparison under the different degree (L1=L2=2 cm,t1=t2=0.2 cm)

图10 星型格栅结构单胞在M点处第4和第5阶振动模态
Fig.10 The 4th and 5th vibration modes of the star-shaped grid structure’s unit cell on the point M
由
星型格栅结构的弯曲振动带隙随几何参数的变化如

图11 星型格栅结构弯曲振动带隙随几何参数变化
Fig.11 Band gaps of star-shaped grid structure's banding vibration vary with geometric parameters
本研究对负泊松比星型格栅结构中弹性波传播的频率带隙问题进行了研究,分析了面内和面外2种振动模式下的色散关系。通过分析其面内纵向振动与面外弯曲振动的能带结构及振动传输特性,发现其具有丰富的禁带特性,在较低频率范围内有着稳定的宽大带隙。2种模式的联合分析对比显示,星型格栅存在纵向振动波与弯曲振动波都难以传播的完全带隙,这意味着无论是面内的纵向激励还是面外的横向激励都将局限于激励端处,实现控制振动位置与减振降噪的作用。对此星型结构单胞的等效弹性模量与等效泊松比随结构几何参数的变化趋势进行了分析,发现内凹夹角对泊松比影响最大,并且角度变化引起的单胞旋转共振模态是面内纵向振动的最低带隙简并处的开关。同时研究了纵向振动与弯曲振动各带隙边界随几何参数变化的规律,为星型格栅结构在工程中的实际应用提供指导。
参 考 文 献
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